MATEMATICAS: febrero 2013

UNIDAD 1 FUNCIONES CUADRÁTICAS

1.-Un granjero tiene 120m de alambre y con él desea cercar tres lados de un terreno en forma rectangular ¿Qué área podrá cercar?

Datos

Perímetro=120

Formula= p=x+b+b (para tres lados)

120=x+2b

Despejar (x)

X=120-2b

Sustituimos x en la ecuación del área

Ecuación (A=xb)

A=b(120-2b)

A=120b-2b²

Después realizamos una tabla para sustituir el valor de (b) para realizarlo con más rapidez utilizaremos la tabla con valores de 10 en 10 hasta encontrar un valor negativo

Lado (B)	A=120b-2b²	área
10	A=120(10)-2(10)²	1000
20	A=120(20)-2(20)²	1600
30	A=120(30)-2(30)²	1800
40	A=120(40)-2(40)²	1600
50	A=120(50)-2(50)²	1000
60	A=120(60)-2(60)²	0
70	A=120(70)-2(70)²	-1400

Después con los datos obtenidos graficamos.

R= Por lo tanto el granjero podrá cercar de 10 hasta 1800

PARÁBOLA:

Al graficar una función cuadrática obtenemos una parábola, esta gráfica tiene características especiales las cuales son:

Vértice

Eje de simetría

Concavidad

Ramas

Valor máximo o, mínimo.

2.-Obtener el valor de los elementos de la parábola

Y(x)=x²

Y(x)=ax+bc+c

Y(x)=1

Se obtiene el valor de A,B,C

A=1

B=0

C=0

Se elabora una tabla con los datos obtenidos, tomando en cuenta el valor de y(x)=x²

x	Y(x)=x²	R=
-5	Y(-5)=-5²	=25
-4	Y(-4)=-4²	=16
-3	Y(-3)=-3²	=9
-2	Y(-2)=-2²	=4
-1	Y(-1)=-1²	=1
0	Y(0)=0²	=0
1	Y(1)=1²	=1
2	Y(2)=2²	=4
3	Y(3)=3²	=9
4	Y(4)=4²	=16
5	Y(5)=5²	=25

Después se gráfica con los datos obtenidos de la tabla

Por lo tanto los elementos de la parábola son los siguientes

Rama: arriba

Concatividad: positiva

Vértice: (0,0)

Mínimo: 0

Eje de simetría: 0

VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN

3.-Para obtener el vértice de cualquier función cuadrática podemos aplicar la siguiente formula

X=-b/2a

1.-f(x)=x²+2x-8

Primero se debe encontrar el valor de A,B y C (los cuales son)

A=1 B=2 C=-8

Después aplicamos la formula

X=-b/2a

Sustituimos

X=-2/2(1)

X=-1

Sustituimos en f(x)=x²+2x-8

Y=(-1)²+2(-1)-8

Y=1-2-8

Y=-9

Vértice (-1,-9)

Realizamos una tabla con el vértice obtenido

X	Y=X²+2X-8	Y
-3	(-3)²+2(-3)-8	=-5
-2	(-2)²+2(-2)-8	=-8
-1	(-1)²+2(-1)-8	=-9
0	(0)²+2(0)-8	=-8
1	(1)²+2(1)-8	=-5
2	(2)²+2(2)-8	=0
3	(3)²+2(3)-8	=7

Por lo tanto los elementos de la parábola son:

Ramas: arriba

Concatividad: positiva

Eje de simetría:-1

Mínimo: -9

Vértice: (-1,-9)

ELEMENTOS DE LAS PARABOLAS

4.-obtener grafica y elementos de cada función atreves del vértice y sus ramas

ƒ(X)=x²-5x

A=1 B=-5 C=0

(x-5)(X+0)=x²-5x

X-5=0 x+0=0

X1=5 x2=0

Ramas

X1=5

X2=0

Vértice

X=2.5

Y=-6.25

X=-B/2A

X=-(-5)/2(1)=5/2

X=2.5

Sustituimos en nuestra ecuación

X²-5x=y

(2.5)²-5(2.5)=y

6.25-12.5=y

-6.25=y

Y=-6.25

Datos

Vértice (2.5,-6.25)

Ramas: arriba (5,0)

Concavidad: positiva

Eje de simetría: 2.5

Mínimo:-2.25

Graficamos con nuestro vértice y ramas

FUNCIÓN DE UNA PARÁBOLA DE FORMA ESTÁNDAR

Forma general

Ƒ(x)= ax²+bx+c

Forma estándar

Ƒ(x)=a(x-h)²+k

5.-Ejercicio

Y=x²+3

A=1 H=0 K=3

Elaboramos una tabla como la siguiente tomando en cuenta los valores de -3 a 3

x	Y=x²+3	Y
-3	Y=(-3)+3	12
-2	Y=(-2)+3	7
-1	Y=(-1)+3	4
0	Y=(0)+3	3
1	Y=(1)+3	4
2	Y=(2)+3	7
3	Y=(3)+3	12

Después graficamos

Como nos podemos dar cuenta

A: provoca que la grafica tenga una mayor abertura en el numero uno.

H: siempre provoca que se recorran espacios sobre el eje x, pero en este caso H no interviene ya que es 0

K: k provoca que suban varios espacios en el eje y en este caso nos damos cuenta que subió 3 espacios sobre la recta y

VÉRTICE DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA DE FORMA ESTANDARIZADA

El vértice en una parábola está representado de forma estandarizada por las coordenadas (k, h) utilizaremos el método de trinomio cuadrado perfecto para convertir las funciones de forma general a la forma estandarizada

♣6.-encuentra el vértice de la parábola

Y=x²+6x+7

A=1 B=6 C=7

Primero dividimos el coeficiente B entre 2 y al resultado lo elevamos al cuadrado

6÷2= (3)²=9

Después sumamos y restamos a la forma general el resultado anterior ejemplo:

Y=x²+6x+9-9+7

Posterior mente del coeficiente A sacamos su radical después tomamos solo el signo del coeficiente B y el radical de el resultado del primer paso y se realizan las operaciones ejemplo:

Y=(x+3)²-2

IMPORTANTE: En el símbolo de A si no tiene valor debemos colorar un 1 de lo contrario se cancela la gráfica. En el coeficiente H se debe de cambiar el signo esto quiere decir de + a – o viceversa

Después hemos obtenido la forma estandarizada y podemos concluir a los valores de :

A=1 H=-3 K=-2

Vértice (-3,-2)

Después elaboramos nuestra tabla de -1 a -5

X	Y=(x+3)²-2	=Y
-1	(-1+3)²-2	=2
-2	(-2+3)²-2	=-1
-3	(-3+3)²-2	=-2
-4	(-4+3)²-2	=-1
-5	(-5+3)²-2	=-2

ENCONTRAR LOS ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA Y GRÁFICAR CON LA SIGUIENTE FUNCIÓN CONVIRTIÉNDOLAS EN FORMA ESTÁNDAR

7.-Y=4x²-8x+7

1.-agrupamos lo términos cuadráticos y lineales

Y= [4x²-8x]+7

2.-Se factoriza con el termino cuadrático

Y=4[x²-2x]+7

3.-Se obtiene (b÷2)²

-2x²÷2=(-1)²=1

4.-Se suma y se resta el resultado anterior dentro de los corchetes

Y=4[x²-2x+1-1]+7

5.-Se factorizan los 3 primeros términos del corchete

Y=4[(x-1)²-4]+7

6.-Se eliminan los corchetes realizando las operaciones

Y=4(x-1)²+3

Por lo tanto

A=4 H=1 K=3

Vértice (1,3)

Tabla de -1 a 3

X	Y=4(x-1)²+3	=Y
-1	4(-1-1)²+3	=19
0	4(0-1)²+3	=7
1	4(1-1)²+3	=3
2	4(2-1)²+3	=7
3	4(3-1)²+3	=19

Después se elabora una gráfica

CONVERCION ESTÁNDAR A FORMA GENERAL

8.-Forma estándar

A(x-H)²+K

Forma general

ax²+bx+c

Obtener la función de forma general si sabemos que A=4 y el vertice de la función es (1,3)

Sustituimos los datos para obtener la forma general

ƒ (x)=4(x-1)²+3

ƒ (x)=4(x²-2x+1)+3

ƒ (x)=4x²-8x+3

ƒ (x)=4x²-8+7

MATEMATICAS

domingo, 10 de febrero de 2013

ejercicio 1

lunes, 4 de febrero de 2013